Estructuras de Nudos Rígidos  (Método de Cross)

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Alguno de los ejercicios que puedes bajarte ahora me los explicó, en el año 1980, el profesor  D. Amadeo Vázquez, felizmente jubilado de la Universidad Politécnica de Madrid y al que desde aquí envío mi agradecimiento más sincero junto con mis mejores deseos. Gracias también a Dª Pilar Gómez, antes profesora y ahora compañera y jefa.

 

 

 

INTRODUCCIÓN

  1 Introducción

pdf (9,18 MB.) Introducción a la materia. El nudo rígido frente al nudo articulado. Treinta y siete diapositivas con fotos y esquemas. (37 páginas). Revisado 2/09/2011.
   
 

ESTRUCTURAS DE NUDOS RÍGIDOS

   

Repaso teoremas  Mohr

pdf (77 KB.) Ejercicio de aplicación de los teoremas de Mohr a una estructura de dos barras. Diagramas de solicitaciones en barras. (2 páginas). Revisado 5/09/2011.
Etapa I examen sep. 09

Diagramas examen sep. 09

pdf (74 KB). Etapa I y II de Cross + Momentos definitivos y Diagramas examen septiembre 2009. Revisado 12/10/2009

pdf (280 KB). Momentos definitivos y Diagramas: Flectores, Cortantes y Axiles. Importante es aprehender que si se aprende y comprende, en profundidad, la etapa II de Cross y se hacen con rapidez los diagramas tenemos el 70 % de un examen. Ya sólo nos quedan las etapas III, IV y V de Cross. Revisado 12/10/2009

3 Sustentación elástica. pdf (100 KB.) La sustentación elástica o empotramiento imperfecto. El concepto de rigidez a la flexión. Rigidez pieza empotrada-apoyada y pieza empotrada-empotrada. Coeficiente de trasmisión. (3 páginas). Revisado 5/09/2011
4 Más sobre la rigidez pdf (1,52 MG) Mas sobre la rigidez, "para que no me olvides". * La rigidez en la solicitación de axil puro (constante de muelle). ** La rigidez en la solicitación de flexión pura. *** También la Rigidez en flexión simple. **** La rigidez en la solicitación de torsión pura cilíndrica. (8 páginas). Revisado 5/09/2011
Sección variable

pdf (185 KB.) Planteamiento del problema con sección EI variable. Se sigue la metodología del profesor . José Calavera en su libro Proyecto y cálculo de estructuras de hormigón armado para edificios. Momentos de empotramiento perfectos. Coeficientes elásticos: coeficiente de transmisión y la rigidez. La relación entre los coeficientes elásticos. Aplicación a un caso particular: coeficientes elásticos y momentos de empotramiento perfecto. (11 páginas)

 5 Método Cross pdf (105 KB.) El descubrimiento del profesor Hardy Cross, los factores de reparto mediante el equilibrio de momentos en el nudo. Método de Cross (4 páginas). Revisado 5/09/20
 6 Ejercicios nº 1 y nº 2 pdf (217 KB.) Ejercicio nº 1: El Problema1 de Cross: reparto de un momento externo en un nudo entre todas las barras (diagramas de Momentos Flectores, Cortantes y Axiles). Ejercicio nº 2: El problema 2 de Cross: aplicación al caso de barras cargadas. (6 páginas). Revisado 5/09/2011
7 Viga continua (ejercicio nº 3) pdf (217 KB.) Ejercicio nº 3: El Problema de la viga continua. Aplicación de distintas técnicas en el método de Cross.(4 páginas). Revisado 5/09/2011
8 Pórtico intraslacional (nº 4) pdf (217 KB.) Ejercicio nº 4: Ejemplo de pórtico intraslacional con dos nudos. Diagramas de vigas y pilares. Equilibrio de fuerzas en los nudos para obtener los axiles en barras. (2 páginas) Revisado 5/09/2011
  9 Traslacionalidad pdf (643 KB.) Pieza articulada - elásticamente sustentada. Pieza empotrada - elásticamente sustentada. Ecuación general de la barra en el plano (iniciación al método matricial). Causas de la desplazabilidad de los nudos (clasificación de Fernández Casado). Grado de traslacionalidad o desplazabilidad (7 páginas)
10 Ejercicio nº 5 pórtico simple pdf (127 KB.) El pórtico simple desplazable como célula elemental que, repetida en horizontal y vertical, conforma una estructura genérica. Ejercicio 5 pórtico simple con carga gravitatoria. Diagramas tipo de este modelo de carga. (3 páginas) Revisado 2011/2015
11 Simplificaciones simetría pdf (125) Simplificaciones de simetría de forma y carga. Aplicación al ejercicio nº 5 (etapa II y diagramas). Resumen de casos. (3 páginas). Revisado 08/11/2013
12  Ejercicio nº 6  viento en pórtico pdf (185 KB.) Ejercicio nº 6. El pórtico simple desplazable con carga horizontal en el dintel. Etapas III, IV y V de Cross. Momentos de Cross y diagramas tipo de este modelo de carga. Aparición de la etapa V de Cross. La ecuación más adecuada es Σ fuerzas cortantes de las barras seccionadas = 0. En este caso particular resulta la ecuación Σ Fh = 0. (5 páginas). Revisado 08/11/2013
13 Ejercicios 5 + 6 pdf (80 KB.) Superposición de los ejercicios 5 y 6.Momentos definitivos en extremo de barra.  Hipótesis elementales de carga 1/ Acción gravitatoria (G + Q). 2/ Viento barlovento 3/ viento de sotavento. Combinación elemental de acciones que ha de resistir con seguridad la estructura: (1) acción gravitatoria sin viento. (1+2) acción gravitatoria con acción viento de barlovento. (1+3) acción gravitatoria con acción viento sotavento. Superposición de diagramas para conseguir la envolvente de acciones. (3 páginas) Revisado 5/09/2011
14 Simplificaciones antisimetría pdf (202 KB.) Simplificaciones de simetría de forma y antisimetría de carga. Aplicación al ejercicio nº 6 (etapa IV y diagramas). Resumen de casos. Aplicación a casos particulares.(4 páginas) Revisado 5/09/2011
15 Barras inclinadas pdf (51 KB.) Momentos de empotramiento perfecto de barras inclinadas para las cargas y sustentaciones más usuales.(1 página).  Revisado 13/11/2011
16 Ejercicio nº 7 tiro escalera pdf (823 KB.) Ejercicio nº 7. Estructura muy interesante en la que los momentos de la etapa IV gobiernan el problema, dándole la vuelta, incluso a los de la etapa II. Aplicación de la simplificación de simetría en las etapas II y IV. La ecuación más adecuada de equilibrio para la etapa V de Cross continúa siendo Σ Fuerzas cortantes = 0. En este caso particular se convierte en Σ Fv = 0. Se ha incluido también, sin cálculo numérico, los esquemas constructivos del tiro de escalera de dos tramos y también de tres tramos con tramo horizontal pequeño y grande en ambos casos, así como el despiece de armados: superior e inferior en la zona de quebranto. (6 páginas). Revisado 08/11/2013
17 Ejercicio nº 8 Pilar inclinado. pdf (129 KB.) Ejercicio nº 10. Con la introducción en el problema general de barras inclinadas, se alcanza el nivel más complejo dentro del tema de nudos rígidos con barras rectas de sección constante, es un caso particular en edificación. La ecuación de equlibrio más adecuada para la etapa V de Cross es: ΣMo = 0 respecto del punto del plano en que se encuentran los axiles de  las barras cortadas. Se aprovecha para comparar lo inadecuado de tomar otra ecuacion de equilibrio tal como Σ Fh = 0. (6 páginas). Revisado 14/12/2009.
   
18 Ejercicio nº 9 Pórtico dos alturas pdf (425 KB.) Ejercicio nº 8. Estructura de dos plantas. Grado de traslacionalidad <>2. Aplicación de las simplificaciones de simetría y antisimetría. Dos ecuaciones de equilibrio en la etapa V. (8 páginas). Revisado 14/01/2010.
19 Ejercicio nº 10 Pórtico 2 aguas pdf (50 KB). Ejercicio del pórtico a dos aguas. La ausencia del tirante hace que la cubierta se comporte como una viga con flector positivo en cumbrera, tanto mayor cuanto menor es la pendiente de la cubierta. A nivel de análisis, presenta la novedad del momento localizado en el interior de una barra como una carga más.
20 Articulaciones intermedias pdf ( 63 KB). La introducción de articulaciones intermedias en las barras rígidas disminuye su grado hiperestático hasta volverlas isostáticas. Así por ejemplo la viga empotrada - apoyada con una articulación intermedia se torna en barra isostática. La viga doblemente empotrada con dos articulaciones intermedias también es isostática. En cambio la viga doblemente empotrada con una sola articulación intermedia es hiperestática y posee rigidez. Revisado 13/11/2011
21 Introducción articuladas pdf (366 KB.). Se relaciona el grado de mecanismo en que se transforma una estructura articulada cuando eliminas alguna barra, con el grado de traslacionalidad de una estructura de nudos rígidos. La estructura de nudos rígidos no se torna en un mecanismo cuando no está triangulada, pero da lugar, en general, a la aparición de la etapa III de Cross. El método de contar nudos, barra y reacciones, nos oriente sobre el grado de traslacionalidad de una estructura con nudos rígidos. El equilibrio de fuerzas en los nudos mediante el método de Maxwell -Cremona .(11 páginas).Revisado 13/11/2011
   
22 Introducción a la combinación acciones. pdf (475 KB) Ejemplo de formulación de hipótesis simples de carga y aplicando el principio de superposición llegar a las distintas combinaciones de acciones conforme a la norma de cálculo que corresponda. combinación de acciones a nivel básico y a nivel intermedio, adecuada para cálculos manuales sin utilizar los coeficientes de simultaneidad "Ψ" de la Norma. Se ha añadido el capítulo III sobre acciones de la E.H.E. 08 que entro en vigor en diciembre de 2008 (6 páginas). Revisado 23/11/2009
http://www.4shared.com/document/t4XlRh_2/combinacion_de_acciones_reduci.html 
 23 Combinación de acciones. pdf (792 KB.) Ejemplo más completo de formulación de hipótesis simples de carga y aplicando el principio de superposición llegar a las distintas combinaciones de acciones conforme a la norma de cálculo que corresponda. Se puede estudiar la combinación de acciones con. al menos, tres niveles de profundidad: 1/nivel Básico: carga gravitatoria + viento. 2/ nivel Medio: Acción permanente + acción variable: acción variable sobrecarga uso + acción variable nieve + acción variable viento. Se utilizan, ahora,  los coeficientes de simultaneidad "Ψ" de la Norma. 3/ nivel Mayor, igual al anterior + alternancia sobrecarga uso (en edificación es infrecuente su aplicación y CTE indica que no es necesario realizar la alternacia). Revisado 24/04/2010
 http://www.4shared.com/document/gWFvkFHU/Combinacin_de_acciones_mas_com.html 
   
Practicas 2013-2014 Zip (85 KB) Enunciado de las practicas sobre el método de Cross para el curso 2013-2014.
   
 

Práctica resuelta sobre estructuras intraslacionales (etapas I y II)

Práctica  Casita Chalet pdf (576 KB.) Edificio de dos plantas con cubierta inclinada. Cargas permanentes + sobrecarga de nieve sin viento. Aplicando la simplificación de simetría se reduce el problema, en la etapa II , de seis nudos a dos. Los momentos de la etapa II son definitivos y con ellos se realiza  el diagrama de flectores. Para resolver el tema de axiles hay que empezar por el nudo de cumbrera, en el concurren sólo dos barras, continuar por el otro nudo de cubierta y terminar por el nudo de planta primera con barras a 90º.  (4 páginas).
   
 

Practicando sobre la etapa III de Cross

Practica ETAPA III

pdf (123 KB) Práctica ETAPA III Cross. Se trata de conseguir el punto óptimo de entrenamiento para los alumnos de cara al examen de estructuras de nudos rígidos por el método de Cross. Como la etapa IV de Cross es similar a la Etapa II ,con la excepción de que es paramétrica, es decir, que no tiene unidades esta etapa III resulta fundamental para alcanzar el éxito en resolver un ejercicio.

Practica Resuelta Etapa III pdf (1,62 MB) Si Vd. ha alcanzado este nivel está en disposición de trabajar en la última etapa de Cross. La Etapa V, en la que se calculan los parámetros que convierten en valores concretos, con unidades, los calculados eh la Etapa IV.
   
 

COMPLEMENTOS

Un libro de ingenieros Pdf (356 KB) Versión en castellano del libro de Hardy Cross titulado: Ingenieros y las torres de marfil (Engineers and ivory towers 1952). Trata sobre la práctica, enseñanza e ideales de la Ingeniería. Especialmente interesante me pareció el capítulo tercero "Algunas torres de hiedra (ivy) y algunas torres de marfil (ivory)" versa sobre la enseñanza el entrenamiento y la instrucción. Parece escrito para este siglo en España. en lugar de para EEUU a mediados del siglo pasado.

      

   
 

EXÁMENES RESUELTOS CROSS

   
Junio 2010 pdf (299 KB) Examen resuelto del final de junio 2010. Grado de desplazabilidad 2 que se reduce a la unidad al ser simétrico de forma y carga.
Parcial 2010 pdf ( 346 KB). Examen resuelto enero 2010. Anverso y reverso de la hoja de examen 26 enero 2010..
Septiembre 2009 (403 KB) 2 pdf con el examen resuelto septiembre 2009. Anverso y reverso de la hoja de examen. (práctica en aula 18 noviembre 2009)
Parcial 2009 (648 KB) 2 pdf con el examen resuelto del primer parcial 2009. Anverso y reverso de la hoja de examen. (práctica en aula 25 noviembre 2009). Revisado 18/01/2010.
Septiembre 2008 pdf (524 KB.) Ejercicio completo tipo examen (9 septiembre 2008). GT = 1 (5 páginas).
Parcial 2008 pdf (543 KB.) Ejercicio completo tipo examen. ( 7 febrero 2008).GT=1) (5 páginas)
Parcial 2007 pdf (839 KB.) Ejercicio completo tipo examen (8 febrero2007). GT = 2 (4 páginas).
Junio 2003 pdf (171 KB.) Desplazamiento conocido. Asiento de un apoyo. Los momentos de la etapa III no son paramétricos, sino que tienen unidades y pueden, por tanto, superponerse directamente a los de la etapa I. No resulta necesario la etapa V.(20 junio 2003). (2 páginas).
Parcial-febrero 1997 pdf ( 141 KB.) Examen sobre el importante tema de la viga continua. 5 febrero 1997.(4 páginas).
   
Objetivo final del Parcial pdf (75 KB) Resumen de  nueve ejercicios de estructuras con nudos rígidos que has debido aprender en esta asignatura. Constituyen el objetivo final de este docente para el método de Cross, al que le dedico un parcial por completo. Si has trabajado, has aprendido y no consigues superar el examen de Cross será, desde luego, una situación injusta e indeseable. Pido una cierta indulgencia por mi responsabilidad en estos casos y agradecería alguna sugerencia en el libro de visitas.
   
 

HISTÓRICO: ENUNCIADO EXÁMENES DE LOS ÚLTIMOS CURSOS

Exámenes Cross 10-11 pdf ( ) Enunciados de los exámenes Cross del curso de referencia (diciembre 10, parcial 11, junio 11, septiembre 11).
Exámenes Cross 09-10 pdf (554 KB). Enunciados de los exámenes Cross del curso de referencia (diciembre 09, parcial 10, junio 10, septiembre 10).
Exámenes Cross 08-09 pdf (474 KB.) Enunciados de los cuatro exámenes Cross del curso de referencia (diciembre 08, parcial 09, junio 09, septiembre 09). Revisado 10/10/2009.
Exámenes Cross 07-08 pdf (335 KB.) Enunciados de los cuatro exámenes Cross del curso de referencia (diciembre 07, parcial 08, junio 08, septiembre08).
Exámenes Cross 06-07 pdf (332 KB.) Enunciados de los cuatro exámenes Cross del curso de referencia (diciembre 06, parcial 07, junio 07, septiembre07).
Exámenes Cross 05-06 pdf (313 KB.) Enunciados de los cuatro exámenes Cross del curso de referencia (diciembre 05, parcial 06, junio 06, septiembre06).
Exámenes Cross 04-05 pdf (443 KB.) Enunciados de los cuatro exámenes Cross del curso de referencia (diciembre 04, parcial 05, junio 05, septiembre05).El parcial se hizo distinto por grupo.
Exámenes Cross 03-04 pdf (238 KB.) Enunciados de los cuatro exámenes Cross del curso de referencia (diciembre 03, parcial 04, junio 04, septiembre04).
   
 

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